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主席树我的理解是可持久化线段树的一种应用吧。本质上就是可持久化线段树,不过我们在查询的时候用到了他们之间可以相减的性质。

首先介绍一下可持久化线段树。

可持久化线段树

可持久化线段树是可持久化数据结构中的一种,主席树的实现就是利用了可持久化线段树的。

可持久化数据结构

所谓的可持久化数据结构,就是保存这个数据结构的历史版本,同时应该公用他们的公有部分来减少内存上的消耗。

可持久化线段树

在每次更新的时候,我们保存下来每次更新的历史版本,以便我们之后查阅。在主席树中我们用到的线段树是保存当前范围内位置有多少个数的。以下都用这个当例子。

下面图中点的表示:

建树

建立一颗空树,这里只要递归的建立就可以了。和普通的线段树是一样的。build(1, 5)

更新

我们这里的更新操作是不改变原有的点,对于所有的修改我们都会建立新的点出来。
insert(root, 1, 5, 3):在3位置插入了一个值。

insert(root, 1, 5, 4):在4位置插入了一个值。

我们可以看到,在修改线段树上维护的数据的时候我们都没有改变原本的点,只是建立了一个新点出来。这样我们可以放心的复用以前的点(因为他们根本就没有变过),这样来达到节省空间的目的。

查询

查询的方法和普通的线段树一样,还是根据所查信息来决定是走左孩子还有右孩子就可以了。

主席树

主席树中我们处理任意区间第K大的方法,有点像在处理任意区间和的时候我们用的求好前缀和再相减的过程。这里我们在查询的时候就是把两个线段树相减。

如果查询区间(s, t)的第K大,我们首先可以找到他们两个所对应的数字插入的时候的线段树,(我们把数组里的元素按顺序插入,并且把插入后的根保存起来。因为这些根一定都是不同的,假定我们保存在了数组T中。即当前的查询可以表示为:query(s, t, ln, rn, k)

那么如果\(T[t].left.data - T[s-1].left.data <= k\),就证明了这个第K小的数应该在左边。我们递归的处理
query(s.left, t.left, ln, mid, k)
,否则第K小的数就应该在右边,我们递归处理query(s.right, t.right, mid+1, rn, k-(t.left.data-s.left.data))(注意更新右侧不是第K小,应该减去左侧数字的个数。)

代码实现和例题

例题poj2104
代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;  
const int maxn = 1000100;

struct node {  
    node *ls, *rs;
    int data;
} _pool[maxn * 20], *current;


void init() {  
    current = _pool;
}

node* allocNode() {  
    return current++;
}

node* build(int ln, int rn) {  
    node* now = allocNode();
    now->data = 0;
    now->ls = NULL;
    now->rs = NULL;
    if (ln < rn) {
        int mid = (ln + rn) / 2;
        now->ls = build(ln, mid);
        now->rs = build(mid + 1, rn);
    }
    return now;
}

node* insert(node* root, int ln, int rn, int val) {  
    node* now = allocNode();
    *now = *root;
    now->data++;
    if (ln != rn) {
        int mid = (ln + rn) / 2;
        if (val <= mid) {
            now->ls= insert(now->ls, ln, mid, val);
        }
        else {
            now->rs= insert(now->rs, mid+1, rn, val);
        }
    }
    return now;
}

int query(node* s, node* t, int ln, int rn, int k) {  
    //printf(">>> [%d, %d], (%d, %d), %d\n", s-_pool, t-_pool, ln, rn, k);
    //printf("--- <%d, %d>, <%d, %d>\n", s->ls-_pool, s->rs-_pool, t->ls-_pool, t->rs-_pool);
    if (ln == rn) return ln;
    int delta = t->ls->data - s->ls->data;
    int mid = (ln + rn) / 2;
    if (delta >= k) {
        return query(s->ls, t->ls, ln, mid, k);
    }
    else {
        return query(s->rs, t->rs, mid+1, rn, k - delta);
    }
}

void treeShow(node* root) {  
    if (root != NULL) {
        printf("%d: <(%d, %d), %d>\n", root-_pool, root->ls-_pool, root->rs-_pool, root->data);
        treeShow(root->ls);
        treeShow(root->rs);
    }
}

node* T[maxn];  
int ori[maxn];  
int dis[maxn];  
int main() {  
    int n, q;
    while (scanf("%d%d", &n, &q) != EOF) {
        init();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &ori[i]);
            dis[i] = ori[i];
        }
        sort(dis + 1, dis + n + 1);
        int m = unique(dis + 1, dis + 1 + n) - dis - 1;
        T[0] = build(1, m);

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int pos = lower_bound(dis + 1, dis + m + 1, ori[i]) - dis;
            T[i] = insert(T[i-1], 1, m, pos);
        }
        //treeShow(T[2]);

        for (int i = 0; i < q; i++) {
            int s, t, k;
            scanf("%d%d%d", &s, &t, &k);
            printf("%d\n", dis[query(T[s-1], T[t], 1, m, k)]);
        }
    }
    return 0;
}
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